Matematika në këndvështrimin e Filozofisë së Historisë së Shpenglerit

Nga: Gjergj Sinani

Osvald Shpengler (Oswald Spengler, 1880-1936) lindi në Blakenburg. Ai studioi në shumë universitete – Halle, Munih, Berlin. Pasi e braktisi matematikën, iu përkushtua veprës që e bëri të famshëm në Evropë, “Rënia e Perëndimit”, që u shkrua para vitit 1914 duke e bërë kështu një nga doktrinarët më të mëdhenj të “revolucionit konservator” në Gjermani.

Që në vitin 1920 u pozicionua në debatet politike duke ju bërë thirrje gjermanëve që t’u ktheheshin virtyteve prusiane. Nacional-socialistët i përdorën shumë ide të tij, por ai nuk ngurroi t’i kritikonte tezat themelore hitleriane, sidomos racizmin. Madje, Hitlerin e konsideronte një Cezar të turmave.

Ai zë një vend të rëndësishëm në filozofinë e historisë për shkak të një këndvështrimi të veçantë që ai i bëri historisë. Ishte “historian me kokë filozofike”, nëse do të përdornim shprehjen e Kantit, për domosdoshmërinë e filozofisë në trajtimin e historisë.

Për Shpenglerin, nuk ka histori universale, por një ndërrim qytetërimesh heterogjene dhe ku çdo qytetërim mishëron një “shpirt”, ose një “fat” të veçantë që kurrë nuk do të ripërsëritet. Pra, mund të flasim për një larmi qytetërimesh, të cilat mund t’i studiojmë, siç bëjnë botanistët dhe zoologët, domethënë duke studiuar në mënyrë krahasuese strukturat e tyre.

Sipas tij, universi-histori, i parë në opozicion me universin-natyrë, intuitivisht, përmes formës, është një aspekt i ri i qenies njerëzore mbi këtë tokë, që shkenca ende nuk e ka zgjidhur këtë çështje. Shqetësimi i tij është se si mund ta jetojë së brendshmi, njeriu, ambientin e tij.

Duke kritikuar Kantin, ndalet në një antitezë mjaft të pasur – fushën e numrave kronologjikë dhe atë të numrave matematikë. Sipas tij, Kanti ka bërë një gabim duke e lidhur, në një mënyrë skematike, së pari njeriun e jashtëm dhe të brendshëm me konceptet mjaft të gjera dhe sidomos jo të pandryshueshëm të hapësirës dhe kohës dhe më pas, duke u nisur nga një mënyrë e gabuar, gjeometrinë dhe aritmetikën, në vend të të cilave duhet zëvendësuar të paktën antiteza shumë më e thellë e numrit matematik dhe të numrit kronologjik. Aritmetika dhe gjeometria janë të dyja llogaritje hapësinore, të pamundura të ndahen në zonat e tyre më të larta në përgjithësi.

Një koncept kronologjik, absolutisht i kapshëm për njeriun naiv përmes ndijimit, e zgjidh problemin duke shtruar pyetjen kur, jo pyetjen çfarë, as sa. Përmes kësaj kritike ai kërkon një art të kërkimit historik, teorikisht të ndriçuar dhe të mos reduktohej në modelin fizik të shkakut dhe pasojës. “Besohet se bëhet shkencë historike duke ndjekur marrëdhëniet objektive të shkakut dhe pasojës. Është interesante se filozofia e stilit të vjetër nuk ka menduar kurrë për ekzistencën e marrëdhënieve të reja të mundshme ndërmjet qenies njerëzore inteligjente dhe universit rrethues” , shkruan ai në Hyrjen e veprës së tij, “Rënia e Perëndimit”.

Në këndvështrimin e tij, përmes kritikës së Kantit dhe Shopenhauerit, matematika dhe parimi i shkakësisë shpien në një klasifikim natyror, kronologjia dhe ideja e fatit në një klasifikim historik të fakteve. Secili nga këto dy grupe përfshin në vetvete tërë universin. Edhe matematika lidhet me të jetuarit së brendshmi të ambientit rrethues. Për këtë ai bën një krahasim ndërmjet matematikës antike dhe asaj të Perëndimit. Mendimi numerik antik i konceptonte gjërat ashtu siç janë, si madhësi, atemporale, pastërtisht prezentë, nga ku doli gjeometria e Euklidit, statika matematike dhe formimi përfundimtar i një sistemi shpirtëror përmes teorisë së seksioneve konike. Përkundrazi, ne i konceptojmë gjërat të tilla siç ato bëhen dhe sillen, si funksione, nga ku dinamika, gjeometria analitike dhe llogaritja diferenciale. Teoria moderne e funksioneve është organizim i madh i kësaj mase mendimesh. Entelekia e Aristotelit ishte i vetmi koncept atemporal – ahistorik – i evolucionit që ekzistonte.

Pas kësaj paraqitje të përgjithshme, le të ndalemi më nga afër në kuptimin e numrave, me të cilin fillon edhe kapitulli i parë i veprës së tij. Sigurisht, kuptimi i numrave nuk mund të zbulohet pa u ndalur mbi dallimin që bën Shpengleri ndërmjet kulturës së mundshme dhe kulturës reale, kulturës si ide e qenies, e përgjithshme ose e përveçme, dhe kulturës si trup i kësaj ideje, si shumë e shprehjeve të saj të bëra shqisore, të bëra në mënyrë hapësinore dhe konkretisht. Ka edhe një dallim tjetër, ai ndërmjet të jetuarit dhe të njohurit në mënyrë eksperimentale. E para përdor, për të komunikuar, krahasimin, imazhin, simbolin; e dyta formulë, ligjin, skemën. Në këtë kontekst të përgjithshëm, si shembull të mënyrës se si një shpirt kërkon të realizohet në imazhin e universit të tij rrethues, për pasojë edhe të masës si një kulturë e bërë shpreh dhe riprodhon një ide të qenies njerëzore, ai merr numrin si baza e çdo matematike, një e dhënë e parë absolute.

Sipas tij, origjina e numrave ngjan me atë të mitit. Njeriu primitiv ngre në rangun e hyjnive, numina, përshtypjet natyrore të pamundura të përcaktohen, duke i limituar, duke i kapur përmes një emri. Po kështu, numrat janë elemente për të delimituar dhe, pra, për të kapur përshtypjet natyrore. Përmes emrit dhe numrit, inteligjenca njerëzore merr pushtet ndaj universit. Gjuha e shenjave të një matematike dhe gramatika e një gjuhe të folur, në thelb, kanë të njëjtën strukturë. Kështu, edhe logjika është një lloj matematike dhe anasjelltas.

Pra, në çdo aksion të inteligjencës njerëzore, në marrëdhënie me numrin matematik – matja, llogaritja, skicimi, peshimi, organizimi, ndarja – është prirja për të delimituar shtrirjen, të paraqitur përmes formave linguistike të demonstrimit, të deduktimit, të parimit, të sistemit dhe përmes këtyre akteve përpiqet të kapë strukturën e këtij imazhi të universit që ai e quan “natyrë” dhe e “njeh” si të tillë. “Është natyrë”, shkruan Shpengler, “ajo që mund të llogaritet është histori, totaliteti i asaj që është pa marrëdhënie me matematikën. Ja në çfarë i duhet dhënë siguria matematike ligjeve të natyrës, gjykimi i çuditshëm i Galileut që e gjen natyrën ‘scritte in lingua matematika’ dhe faktin e nënvizuar nga Kanti se shkenca natyrore ekzakte është, në mënyrë strikte, e limituar nga mundësia e përdorimit të metodave matematike” .

Pra, te numri, si shenjë e një limiti të kryer, shprehet, siç e kuptoi Pitagora me një siguri të brendshme të thellë, që rezulton nga një intuitë e madhe, absolutisht fetare, natyra e çdo gjëje reale njëherazi të bërë, të njohur, të limituar. Megjithatë, sipas tij, këtu nuk duhet ngatërruar matematika praktike, aftësia për të menduar me numra, me matematikën shkencore shumë më të ngushtë, ose teorinë e numrave të zhvilluar përmes fjalës dhe shkrimit. Por, ka edhe rrugë të tjera për të konkretizuar ndijimin fillestar që është në bazë të numrave.

Në fillim të çdo kulture gjejmë një stil arkaik, që mund të quhet gjeometrike diku gjetkë nga kultura e lashtë helene. Sipas tij, ka diçka të përbashkët të shprehjes matematike në stilin antik të shekullit X, me atë të tempujve të dinastisë së IV egjiptiane, me theksimin absolut të vijës dhe të këndit të drejtë, me relievin e sarkofagëve të krishterimit primitiv, me arkitekturën dhe dekorimin romak. Çdo vijë, çdo figurë njerëzore ose shtazore, me qëllim të pastër imitues, na zbulon një mendim numerik mistik në marrëdhënie të drejtpërdrejtë me misterin e vdekjes (të të ngrirës). Kështu, katedralja gotike dhe tempulli dorik janë një matematikë e ngurosur. Sigurisht, ishte Pitagora i pari që i konceptoi në mënyrë shkencore numrat antikë, si parim të një rendi universal të gjërave konkrete, si masë ose si madhësi. Por, rregullat strikte të statujave dhe organizimi i kolonës dorike na tregojnë, përmes numrit, rendin e bukur të njësive shqisore dhe trupore. Prandaj, të gjitha artet e mëdha janë mënyra të limitimit numerik dhe kuptimor.

Duke e ilustruar këtë ide me shembuj nga kulturat e ndryshme, ai nxjerr një fakt tepër të rëndësishëm, që ka qenë injoruar nga matematikanët. Ky fakt është se numri në vetvete nuk ekziston dhe nuk mund të ekzistojë, pasi ka shumë universe numrash, sepse ka disa kultura. Kështu, ne gjejmë një tip hindu, arab, antik, perëndimor të mendimit matematik dhe, për pasojë edhe për numrin, secili special dhe unik që në origjinë, secili simbol i një vlere ekzakte si dhe shkencërisht të kufizuar, parim i një organizimi të të bërit, ose pasqyrim i natyrës intime të një shpirti të vetëm dhe të asnjë tjetri, pikërisht të asaj që është pika qendrore e kësaj kulture dhe e asnjë tjetri. Prandaj, ekziston më shumë se një matematikë. Prandaj, struktura e gjeometrisë euklidiane ndryshon totalisht nga ajo e Dekartit, analiza e Arkimedit nga ajo e Gausit, jo vetëm nga gjuha e tyre formale, qëllimi dhe mënyrat e tyre, por sidomos nga thelbi, nga sensi origjinal i numrit, i cili përfaqëson evolucionin shkencor. Në përputhje me koncepsionin e tij filozofik mbi kulturat, edhe matematika i ka rrënjët te kultura nga ngjizet një qytetërim, nga lloji i njerëzve që reflektojnë rreth saj.

Me interes është të ndalemi edhe në trajtimin krahasues që Shpengleri u bën matematikave, dhe një morfologjie krahasuese e formave të njohjes, që është një problem që i takon mendimit perëndimor. Për më tepër, rreth matematikave duhet arsyetuar në mënyrë historike. Shpirti antik krijoi matematikën e vet pothuajse nga hiçi; shpirti perëndimor, i pajisur me të menduarit historik, duke zotëruar tashmë shkencën e mësuar – së jashtmi dhe jo së brendshmi – ishte e detyruar të përftonte të vetën përmes modifikimit dhe korrektimit, përmes një shkatërrimi real të matematikës antike, e huaj për të nga natyra. Krijimi i parë ishte ai i Pitagorës, i dyti ai i Dekartit. Nga matematika antike u kalua te ajo arabe. Ajo që ne dimë nga matematika aleksandrine është se u zhvillua në universitetet e Edesës, Xhondisaburit dhe Ktesifonit. Pavarësisht nga emrat grekë – Zenodori që u mor me figurat izoperimetrike, Serenos që u mor me vetitë e një rreze drite harmonike në hapësirë, Hipsikles që futi ndarjen kaldene të rrethit, sidomos Diofantin – matematikanët e Aleksandrisë ishin të gjithë aramenë dhe literatura e shpëtuar nga veprat e tyre ishte shkruar në gjuhën siriake. Kjo matematikë e gjeti zhvillimin më të madh në shkencën arabo-islamike dhe u pasua nga një krijim, pothuajse i ri pas një intervali të gjatë, nga matematika perëndimore.

Për ta ilustruar më mirë, le të ndalemi në një krahasim që Shpengler bën ndërmjet Diofantit dhe Dekartit. Duke lënë mënjanë detajet historike dhe lidhjet e matematikës me artin, që do të kërkonin një analizë më vete, le të shohim koncepsionet matematike përkatëse. Diofanti qe i pari që e çliroi matematikën antike nga zinxhirët shqisorë. Ideja e numrit si madhësi nuk u zgjerua më tej prej tij, por u shkatërrua. Diofanti nuk shikonte te numrat masën dhe substancën e gjërave plastike prej nga buronte dhe arti i trupave të bukur grekë, por ai përpunoi matematikën magjike, sipas shprehjes së Shpenglerit, e cila do të ishte në bazë të algjebrës arabe. Për të treguar këtë zhvillim ai përdor një krahasim me artin e objekteve të kultit: “Algjebra është ndaj matematikës antike dhe analizës perëndimore, ashtu si kisha me kupolë është ndaj tempullit dorik dhe katedrales gotike”.

Sipas Shpenglerit, akti decisiv i Dekartit, gjeometria e të cilit u botua më 1637, nuk ishte se futi një metodë ose një intuitë të re në kuadrin e gjeometrisë ekzistuese, por sepse konceptoi përfundimisht një ide të re të numrit, që konsistonte për ta çliruar gjeometrinë nga manipulimi optik i ndërtimit, si të hapësirës së matur dhe atë të matshme. Për Dekartin, analiza e të pafundmes ishte bërë një realitet. Dekarti shkatërroi konceptin, të transmetuar nga tekstet antike dhe tradita arabe, të madhësisë ose dimensionit shqisor dhe e zëvendësoi me atë të raportit variabël të situatave në hapësirë. Duke nisur nga Dekarti, e ashtuquajtura “gjeometri moderne” u bë ose një aktivitet sintetik, që përcaktonte përmes numrave situatën e pikave në një hapësirë që nuk ka më domosdoshmërisht tre dimensione, ose një aktivitet analitik që i përcakton numrat përmes situatës së pikave. “Por”, shkruan Shpengler, “të zëvendësosh vijat me situatat, kjo do të thotë të konceptosh idenë e shtrirjes si pastërtisht hapësinore dhe jo më trupore” .

Si shembull të këtij revolucioni matematik të shkatërrimit të gjeometrisë si një trashëgimi optike të përcaktuar, Shpengleri sjell futjen e funksioneve të këndeve në funksione ciklometrike, pastaj reduktimin e tyre në seri, të cilat nga vetia e numrave të pafundëm të analizës algjebrike, e humbën edhe gjurmën më të lehtë të figurave gjeometrike të stilit euklidian. “Kështu, historia e shkencës perëndimore”, shkruan Shpengler, “është ajo e emancipimit tonë progresiv të mendimit antik, emancipim që madje nuk është dashur, që u shkëput me forcë nga thellësitë e të pandërgjegjshmes. Prandaj, evolucioni i matematikës moderne u transformua në një luftë të fshehtë, të gjatë dhe përfundimisht fitimtare, kundër konceptit të madhësisë” .

Në qoftë se për antikët pikënisja e çdo figurimi ishte organizimi i të bërit në masë ku ai ishte prezent, ose mund ta perceptonte, ta maste dhe ta llogariste, ndjesia perëndimore gotike e formës, që është ai i një shpirti të pabashkmatshëm, i një vullneti të fortë që shtrihet në të gjitha distancat e largëta, ka zgjedhur shenjën e hapësirës së kulluar, abstrakte të pafundme. Matematikat perëndimore, sapo u çliruan nga paragjykimet antike, depërtuan në rajone tërësisht abstrakte të një larmie të pafundme numrash me n dimensione – jo më me 3 – brenda së cilës nuk kemi elemente të dukshme. Algjebra

arabe, trigonometria hindu, mekanika antike u inkorporuan te analiza. Qenë pikërisht parimet më të qarta të llogaritjes elementare (si 2 x 2 = 4), të cilat, të studiuara nga pikëpamja e analizës, u bënë problem, zgjidhja e të cilave u gjet me ndërmjetësinë e teorisë së sasive. Kështu, marrëdhënia e madhësisë u quajt proporcion, ajo e marrëdhënies (relacionit) u përfshi në konceptin e funksionit. Nëse matematika antike llogariste problemin e përcaktuar, matematika e të pafundmes trajton klasa të tëra mundësish formale, grupe funksionesh, operacionesh, ekuacionesh, kurbash, jo më sipas këtij apo atij rezultati, por sipas lëvizjes së tyre. Kështu, lindi ideja e një morfologjie operacionesh matematike dhe që përbën tiparin kryesor të çdo matematike moderne. “Çlirimi i gjeometrisë nga intuita shqisore, algjebrës nga koncepti i madhësisë dhe t’i bashkoje të dyja në godinën e fuqishme të teorisë së funksioneve, përtej kufijve elementarë të konstruksionit dhe të kalkulimit: e tillë ishte rruga e matematikave perëndimore. Kështu, numri antik konstant u shkri te numri variabël” , kjo është pasqyra e evolucionit matematik në qytetërimin perëndimor, sipas Shpenglerit.

Duke u bërë analitike, sipas tij, gjeometria i shkriu të gjitha format konkrete. Ajo i zëvendësoi trupat matematikë me raporte abstrakte hapësinore. Ajo më së pari zëvendësoi figurat optike të Euklidit me vendet gjeometrike, që lidhen me një sistem koordinatash, pikënisja e të cilave mund të zgjidhet arbitrarisht dhe e reduktoi ekzistencën reale të objektit gjeometrik në pandryshueshmërinë e sistemit gjatë operacionit, e cila nuk qëndron më te masat, por te ekuacionet. Shpejt, koordinatat u konceptuan si vlera të kulluara, të cilat nuk përfaqësojnë më shumë nga sa shfaqin ose zëvendësojnë situatën e pikave si elemente hapësinorë abstraktë.

Numri, si limit i të bërit, nuk paraqitej simbolikisht përmes imazhit të një figure, por përmes atij të një ekuacioni. Kështu, kuptimi i gjeometrisë u përmbys; sistemi i koordonatave u zhduk si imazh dhe atëherë pika u bë plotësisht një grup numrash abstraktë. Edhe në metafizikë do kemi pasoja, pasi ideali i shtrirjes transcendente hyri në kontradiktë me mundësitë e ngushta të vështrimit të drejtpërdrejtë, por kjo çështje do të kërkonte një analizë të veçantë dhe më të detajuar, që del jashtë hapësirës së kësaj kumtese. “Por”, thekson Shpengler, “në qoftë se numri i Pitagorës zbulohet në natyrë në formën e objekteve të veçantë të dhënë, ai i Dekartit dhe pasuesve ishte një gjë që ai duhej ta fitonte me luftë të lartë, një raport abstrakt tiranik, i pavarur nga çdo e dhënë shqisore dhe gjithmonë gati për ta vlerësuar këtë pavarësi kundër natyrës” .

Nga momenti që elementi hapësinor i pikës e humbi karakterin e seksionit të koordinatave në një sistem intuitivisht të shfaqshëm, atëherë nuk kishte asnjë vështirësi të zëvendësohej numri 3 me numrin e përgjithshëm n. Tashmë nuk janë më numrat matës që tregojnë cilësitë optike të një pike në raport me vendin e saj në një sistem, por përmasat në numra të pakufizuar që përfaqësojnë plotësisht cilësitë abstrakte të një grupi numrash. “Pasojë e kësaj intuite të madhe të universeve hapësinore simbolike”, shkruan Shpengler, “është koncepti i fundit dhe definitiv i matematikës perëndimore: ai që zgjeron dhe spiritualizon teorinë e funksioneve duke e transformuar në teorinë e grupeve” .

Në vend të konkluzionit, mund të paraqesim këtë skemë historike që e ka përpunuar vetë Shpengleri.

Antikiteti, Perëndimi (Oksidenti)
1. Konceptimi i një numri të ri
Rreth 540, numri-madhësi i pitagorianëve, rreth 1630 numri-funksion i Dekartit, Fermat, Paskalit, Njutonit dhe Laibnicit (1670).
(Rreth 470, fitorja e plastikës ndaj afreskut).
(Rreth 1670, fitorja e muzikës ndaj pikturës në vaj).
2. Apogjeja e zhvillimit sistematik.
450-350, Platoni, Arkitas, Eudoksi 1750-1800, Euler, Lagranzhë, Laplacë (Gluk, Haiden, Moxart).
(Fidias, Praksiteli).
3. Universi matematik i përfunduar së brendshmi
300-250, Euklidi, Apollonius, Arkimedi. Pas 1800, Gaus, Goshi, Raiman (Bethpven).
(Lisipi, Leokares).

Shënime
1-Oswald Spengler, Le déclin de l’Occident, Gallimard, 1948, f. 19.
2-Spengler, po aty, f. 67.
3-Spengler, po aty, f. 82.
4-Spengler, po aty, f. 84.
5- Spengler, po aty, f. 85.
6-Spengler, po aty, f. 96.
7- Spengler, po aty, f. 97.
8- Spengler, po aty, f. 99.